베르누이 방정식: Bernoulli equation

1st linear ODE의 표준형은 y'+p(x)y = r(x)  로서 이런 형태의 방정식은 선형임을 알 수 있다. 

 

하지만 이런 형태가 아닌 비선형 상미분 방정식 일지라도 선형 상미분 방정식으로 변환 하여 풀이할 수 있다. 

그 중 하나가 바로 'Bernoulli equation' 이다. 

배르누이 방정식의 형태는 y'+p(x)y = g(x)y^a . 

 

우리는 이때 u(x) = y^(1-a) 로 치환하는 방법을 사용하여 선형으로 변환할 수 있다. 

u'(x) = (1-a)y^-a  y' 

이때  y'+p(x)y = g(x)y^a .에서 y' = g(x)y^a -p(x)y 

이를 위 식에 대입하면 

u'(x) = (1-a)y^-a  (g(x)y^a -p(x)y) =  (1-a)g - (1-a)py^(1-a) = (1-a)g - (1-a)pu . 

 

즉 이를 표준형으로 정리하면 u' + (1-a)pu = (1-a)g 이 된다.

이 방정식은 선형 상미분 방정식의 형태임을 알 수 있다.