완전미분방정식: Exact ODEs

이번에는 ODE를 풀이하는 방법 중 완전 상미분 방정식을 풀이하는 아이디어에 대해 알아볼 것이다. 

 

우선 이 아이디어에는 전미분(total differential)이라는 개념이 활용된다. 

전미분이란 du = σu/σx dx + σu/σy dy 로써 직관적으로 이해를 하면 다변수 함수의 변화량 (du) 를  각 변수의 변화량을 이용하여 (dx, dy) 알아내는 과정이라고 볼 수 있을 것이다. 

그리고, du = σu/σx dx + σu/σy dy 이 형식이 어떤 함수 u(x,y) 의 미분이면 이는 Exact ODES (완전 상미분 방정식) 이라고 부를 수 있는 것이다. 

 

*전미분의 공식을 도출하는 과정은 그리 어렵지 않으니 생략하도록 합시다. 

 

그렇다면 한번 전미분을 실제로 해보자. 

u = x+ x^2 y^3 = c라고 두자. 

이때 du = (1+ 2xy^3) dx + (3x^2y^2) dy 이다. 

이를 통해 y' = dy/dx = -  (1+ 2xy^3) / (3x^2y^2)  임을 알 수 있다. 

 

우리는 이 과정을 역으로 거슬러 올라가는 아이디어를 통해 ODE를 풀어볼 것이다. 

 

만약 어떤 ODE의 형태가 M(x,y) + N(x,y) y' =0 이라고 했을 때 

우리는 M(x,y) dx + N(x,y) dy =0 로 정리할 수 있다. 

 

만약 이때 σu/σx = M(x,y) , σu/σy =  N(x,y) 라면 위의 전미분 개념에 따라  M(x,y) dx + N(x,y) dy =0 은 완전 상미분 방정식임을 알 수 있다. 

 

여기서 궁금한 점은  σu/σx = M(x,y) , σu/σy =  N(x,y) 임을 어떻게 아는가? 이다. 

이를 알 수 있는 방법은 M(x,y)은 y에 대해 편미분하고  N(x,y)은 x에 대해 편미분하는 것이다. 

이때 σM/σy = σN/σx = σ^2/ σyσx 이 공식을 통해 우리는 완전 상미분 방정식 여부를 판단할 수 있다. 

예를 한번 들어보자. 

2xydx + x^2dy = 0 에서 2xy 를 y에 대해 편미분하면 2x, x^2를 x에 대해 편미분하면 2x가 되므로 둘은 같고, 즉 이 상미분 방정식은 Exact ODE임을 알 수 있다. 

 

우리는 du = σu/σx dx + σu/σy dy에서 u(x,y)를 구해야 하므로 M=  σu/σx에서  u=∫M dx + k(y) 임을 알 수 있다. 

*이때 적분상수 c가 아닌 k(y)인 이유는 M은 x에 대해서 편미분을 한 식이기 때문이다.  

 

이제 구한 식 u를 다시 y에 대해서 편미분하고 이를  N(x,y)와 비교하면 k'(y)를 구할 수 있고  k'(y)를 적분하여 k(y)를 도출해내면서 최종적인 u(x,y)를 구할 수 있다. 

 

이렇게 글로만 들으면 어려우니까 예제를 통해서 학습해보자. 

 

step 1 에서는 이 ODE가 완전 상미분 방정식인지 점검한다. 

 

여기서 의문이 갈 수 있는 점은 답이 u(x,y) = sin(x+y) + y^3 + y^2 = c 의 형태로써 왜 갑자기 u(x,y) 에 대한 함수가 튀어나오고  y= ~~~ 형태가 아닌 지 궁금할 수 있다. 하지만 궁극적으로 ODE의 솔루션을 구한다는 건 y와 x 의 관계를 알면 그것이 곧 답이 되기 때문에 이 형태 또한 올바르다는 것을 알 수 있다. 

 

그럼 열심히 공부해봅시다.