치환변수 분리법 : Reduction to separable form

우리는 앞서 변수 분리법으로 1계 ODE를 풀이하는 법을 공부하였다. 

이처럼 변수 분리가 가능한 1계 ODE도 존재하지만 그렇지 않은 방정식 역시 존재한다. 

이때 치환 변수 분리법을 통해서 이 문제를 해결할 수 있다. 

 

이때 f는 y/x의 어떤 미분가능한 함수가 되는데 이런 형태는 y/x를 치환할 것을 시사한다고 볼 수 있다.

즉 u= y/x 로 놓으면 y= ux , y' = u'x + u 로 나타낼 수 있다. 

 

*y를 미분하는 과정이 이해가 잘 안갈 수 있는데 u도 결국 x와 관련된 함수고 즉 {f(x)g(x)}' = f(x)'g(x) + f(x)g(x)' 의 곱의 미분을 통해서 위 결과가 나왔음을 이해할 수 있다. 

 

위 예제를 풀어보면서 치환 변수 분리법을 잘 이해해보도록 하자. 

 

또한 치환변수 분리법은 단순히 u=y/x로 치환하는것이 아닌 문제에 따라서 다양하게 치환을 할 수 있어야 한다. 

예를 들어 y' = (x+y-2)^2  같은 문제의 경우 u= x+y-2, y' = u'-1 로 치환해야 편리하게 풀 수 있다. 

 

이 파트의 경우 문제를 많이 풀어보면서 치환을 어떻게 하면 좋을 지에 대해 고민을 많이 해볼 수록 잘 풀 수 있는 것 같다. 

잘 숙지해봅시다!