우리는 앞서 1계 선형 상미분 방정식에 대해 알아 보았다.
따라서 이번에는 2계 선형 상미분 방정식을 풀이하는 방법에 대해 알아보자.
만약 어떤 2계 상미분 방정식이
y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) 로 표현 될 수 있다면 이는 linear 라고 표현한다.
이때 만약 r(x)=0 이라면 이 방정식은 homogeneous 하다고 말할 수 있다.
예를 들어 xy'' + y' + xy= 0 이라는 equation을 보면 이를 표준형으로 변환할 경우 y'' + 1/x y' + y =0 이므로 이 방정식은 homogeneous linear ODE of second order 임을 알 수 가 있는 것이다.
이런 방정식의 경우 다양한 해를 가지고 있다.
특히 제차 선형 방정식의 경우 superposition principle 즉 중첩의 원리가 성립한다.
예를 들어보면 y'' + y =0 의 경우 y= cos x 나 y= sin x 를 대입하면 성립함을 알 수 있다.
이때 y= c1 cosx + c2 sinx 역시 해가 됨을 알 수가 있다.
이처럼 주어진 해로부터 임의의 상수를 곱하여 추가적인 해를 얻는 원리를 superposition principle 이라 하는 것이다.
만약 비제차 선형 상미분 방정식이나 선형이 아닌 방정식의 경우 이 원리가 일반적으로 성립하지 않으므로 주의하자.
이때 우리는 y= c1y1 + c2y2 의 해를 얻을 수 있는데
여기서 y1, y2를 우리는 basis 라고 부른다.
중요한 점은 y1 과 y2는 서로 linear independent 여야 한다는 점이다.
여기서 linear independent 라는 것은 y1/y2 가 constant 가 아닌 것이다.
다음에는 실제 2계 ODE를 푸는 방법은 Reduction of order 에 대해 알아보자.