1계 선형 상미분방정식 : Linear first ODEs

이 단원의 경우 공식을 암기하여 문제에 적용하면 대부분의 경우 쉽게 풀이할 수 있다. 

하지만 해 공식을 도출하는 과정에서 쓰이는 곱의 미분과 적분인자의 아이디어는 앞으로 문제를 풀이할 때 있어 중요하게 쓰이기 때문에, 이를 잘 숙지하도록 하자. 

1계 상미분 방정식은 다음과 같은

y' + p(x)y = r(x)  의 형태로 가져갈 수 있을 때 linear 이며 이를 1계 상미분 방정식이라고 한다. 

 

예를 들어 y'cosx + ysinx = x 를 보면 y'+ ytanx = x/cosx 의 식으로 가져갈 수 있으므로 이 방정식 또한 1계 상미분 방정식인 것이다. 특히 공학에서는 r(x)를 input 의 의미로 y(x)를 output의 의미로 해석할 수 있다. 

 

처음에는 간단한 형태에서 출발해보자. r(x) = 0 즉 y' + p(x)y = 0 인 homogeneous 인 경우에 대하여 y(x) 를 구해보자. 

y' = -p(x)y 에서 dy/y = -p(x)dx , lnlyl = ∫-p(x)dx +c* , y(x)= ce^ -∫p(x)dx 임을 알 수 있다. 

 

이번에는 nonhomogeneous 한 형태에 대해서 생각해보자. 이때 아까와 달리 r(x) 는 구간 내 모든 점에서 0이 되지는 않게 된다. 

y' + p(x)y = r(x) 에서 dy/dx = r(x)- p(x)y 

dy= ( r(x)- p(x)y ) dx 

이는 ( r(x)- p(x)y ) dx - dy = 0 이 된다. 저번 완전 상미분 방정식에서 했을 때처럼

σP/σy =/ σQ/ σx 이므로 적분인자를 도입할 수 있다. 

 

R(x)= 1/Q ( σP/σy - σQ/ σx) = p(x) 이므로 

이때 F= e^∫pdx 라는 결과를 도출할 수 있다. 

 

즉 구한 이 적분인자 F를 각 항에 곱하면  e^∫pdx y' + e^∫pdx p(x)y =e^∫pdx r(x)

이때 곱의 미분을 활용하면  e^∫pdx y' + e^∫pdx p(x)y  = ( e^∫pdx * y )' 이므로  ( e^∫pdx * y )'  = e^∫pdx r(x) 

양변을 적분하면 e^h * y = ∫  e^h r(x) dx + c , 즉 y(x) = e^-h (  ∫  e^h r(x) dx + c ) .  ( 단, h= e^∫pdx ) 

 

이렇게 1계 선형 상미분 방정식에서 해를 구할 수 있는 공식을 도출할 수 있다. 

 

이때 이 식을 풀어내면 y(x) = e^-h ∫ e^h r(x) dx + c e^-h 인데 ce^-h의 경우 r(x) = 0인 경우에 대한 해 공식이므로 

Total Output = Response to the Input r + Response to the initial data 임을 알 수 있다.