변수 분리법: Method of separating variables

 ODE를 풀이할 수 있는 수많은 방법 중 가장 첫번 째로 소개되는 방법은 Method of separating method 이다. 즉 변수를 분리하는 방법으로 한 변에는 x와 관련한 식이, 다른 한 변에는 y와 관련한 식으로 정리하는 것이다.
g(y)y' = f(x) 의 형태로 식이 정리되었으면, 양변을 적분한다. 
y' 란 dy/dx를 의미하므로  ∫g(y)dy = ∫ f(x)dx +c로 정리할 수 있다.  
 

한 번 바로 문제에 적용해보자. 
아래 example 1에서 y' = 1 + y^2을 풀이해보도록 하자. 
dy/ 1 + y^2 = dx 로 식을 정리한 뒤 양변을 적분하면, 
artan y= x +c 즉, y= tan(x+c) 이다. 
 
이 문제를 풀이할 때 주의사항은 항상 적분을 한 뒤 바로 적분상수를 도입하는 것이다. 
적분을 풀이할 때 적분 상수 c를 붙이지 않거나 뒤늦게 식에 도입하는 경우가 있는데 그럴 경우 답이 틀릴 수 있기 때문에 주의하도록 하자. 
 

공학자가 수학을 배워야 하는 이유는 물리학적 현상을 수학이라는 언어를 이용해 모델링 할 줄 알아야 하기 때문인데, 이번에는 일반화학에서 나오는 반감기식을 활용하여 이를 알아보자. 
일반화학에서 반감기와 관련한 식이 나오는데 y' = ky 가 바로 그것이다. 
이때 초기값과 시간의 정보만을 이용해 y값을 구할 수 있도록 변수 분리법을 통해 식을 변형할 수 있다. 
 
1/y dy = k dt 로 식을 정리한 뒤 양변을 적분한다. 
ln lyl = kt +c 에서 y= e^(kt+c) 
이때 e^c 도 하나의 상수이기 때문에 y= c e^kt로 식을 정리할 수 있다. 
그리고 c는 초기값, t는 시간값, k는 원소에 따른 고유한 상수로 이해할 수 있다. 
이렇게 우리는 원소의 반감기를 알 수 있는 것이다. 
 
Method of separating variables 와 Separable equation 에 대해서 알아보았는데 ODE를 푸는 방법 중 가장 기초적이고 기본이 되는 방법 중 하나기 때문에 잘 숙지하도록 하자.