선형대수: 행렬의 고유값(eigenvalue) 문제

Ax= λx , 행렬의 고유값. 

 

 

A 라는 행렬이 존재한다고 생각해보자. 

이때  A =  6 3  이며 이제  x라는 벡터를 곱해보자. 

                4 7 

x= 5 일때와 x= 3 를 비교해보면, 

     1                 4

Ax에서 전자의 경우 원래 벡터와 방향과 크기가 다른 새로운 벡터가 되는 반면, 

후자의 경우 원래 벡터와 방향이 동일하며 10배의 배율을 갖는 벡터를 이끌어 낼 수 있다. 

위의 후자와 같은 관계를 가질 수 있도록 하는  영벡터가 아닌 벡터 x와 스칼라 값 λ를 구하는 것이 이번 단원의 목표라고 할 수 있다. 

*영벡터가 아닌 벡터 x로 한정하는 이유는 만약 x가 영벡터라면 항상 식을 만족하겠지만, 그렇게 되면 계산이 무의미해지기 때문이다. 

 

Ax= λx에서 우변을 좌변으로 이항하면

x(A-λ) = 0 이라고 할 수 있다. 이때, λ는 스칼라값이기 때문에 연산을 위해서 단위행렬 I를 곱해주도록 한다. 즉, x(A- Iλ) = 0 

A- Iλ 의 행렬을 B라고 두고 B의 역함수가 존재한다고 가정해보자. 

Bx =  0 이때 양변에 B의 역행렬을 곱하면 

B-1 Bx = Bx 0  ( 행렬과 그 역행렬의 곱은 단위행렬이다. ) 

Ix = x = 0. 즉 x는 영벡터이기 때문에 기본 전제가 틀렸으므로 즉 모순이다. 

따라서 B의 역함수는 존재하지 않으므로 ㅣA- Iλㅣ의 행렬식의 값은 0이다.  

A= a b  의 2x2 정방행렬(square matrix) 일때 우리는ㅣA- Iλㅣ의 행렬식의 값을 구하는 과정에서

     c d    

특성 방정식 (characteristic equation)을 활용할 수 있다. 

(a- λ)(d-λ)- bc = 0 에서 우리는 eigenvalue에 해당하는 λ를 구할 수 있다. 

또한 x(A- Iλ) = 0 을 활용하여 eigenvector 인 x 또한 구할 수 있다. 

 

앞으로 배우게 될 비제차 , 제차 연립 ODE에서 행렬의 고유값을 구하는 과정은 필수적이기 떄문에 일련의 과정들을 잘 숙지해보자.